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| Quelques cours de mathématiques pour élèves | Cours et formation pour enseignants |
| Nouveau 28/11/2012 Un mètre, c’est, à peu de choses près, soixante-dix centimètres - Changements d'unités 26/10/2012 - Comment résoudre un problème d'arithmétique ? 25/10/2012-Définition du mètre 13/12/2010 -Les tables multiplication jusqu'à 20 fois 20 (CM, 6e .... seconde) GO--> - Division d'un décimal par un décimal - Opérations à trous et équations à une inconnue - Introduction aux fractions - La règle de trois - Calculs en base deux et en base dix - Ordinateur fait avec des boites d'allumettes |
- Les trois multiplications des nombres entiers. Commutativité ? - Démonstration de la commutativité de la multiplication - Division euclidienne - Propriétés des opérations - Priorités opératoires |
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Une petite explication pour que ce que je propose ne prête pas à confusion. 1) Puisque j’ai un peu de temps à la retraite, je peux essayer de donner quelques idées possiblement utiles tirées de ce que j’ai fait comme prof de maths en lycée et surtout en collège et dont une partie était, et pas seulement en sixième !!! , une révision du primaire. Ce n’était certes pas des cours de primaire puisque par exemple, un cours de CM1 correspond à ce que doit apprendre un élève qui a les prérequis pour comprendre ce cours. Mais je faisais souvent des « revisions » … de choses qui n’avaient jamais été vues. Et par contre les élèves savaient, mal donc, des choses qui étaient des conséquences logiques …de ce qu’ils n’avaient pas appris et ne savaient pas. Donc, si mes cours n’étaient pas à proprement parler des cours et en particulier des cours de primaire, ils portaient sur les mêmes contenus et ils peuvent donc en ce sens avoir un intérêt. 2) Je pars de l’hypothèse que si quelqu’un a une bonne formation dans la[les] matière[s] qu’il enseigne et s’il a le désir de la faire comprendre aux élèves, il arrivera, peut-être avec des difficultés et du temps, mais il arrivera à faire passer les connaissances qu’il a choisi de faire passer et qu’en fait il arrivera à se construire une pédagogie. Une des raison essentielles de cette position est qu’il faut une forte maîtrise de la matière que l’on enseigne pour avoir le temps et la disponibilité d’esprit pendant le cours pour pouvoir se concentrer sur la pédagogie, avoir une forte réactivité aux réactions des élèves etc … sans avoir de doutes sur la validité du contenu que l’on enseigne.. 3) Ceci explique un peu le contenu des fichiers de cours que l’on trouve ou trouvera ici qui sont surtout à contenu disciplinaire puisque dans mon esprit je laisse toute liberté de méthode à celui qui les lit et les utilise. Autrement dit, il ne faut pas s’attendre - même si ça arrivera - à y trouver systématiquement un produit fini « prêt à enseigner » mais je m’efforcerai d’y placer tout ce qui est nécessaire en terme de contenu mathématique pour qu'un enseignant puisse « préparer son cours » et construire ce produit fini qui lui est personnel. Par contre je pense qu’il faut « problématiser » les connaissances, c'est-à-dire que ce que l’on enseigne doit être la réponse à une question que peut comprendre l’élève, question qu’il peut se poser de lui-même ou que l’on peut l’amener à se poser. Et il faut - autant que possible bien sûr - les « scénariser » et c’est pourquoi je commence par cet exemple de scénario que j’ai longtemps utilisé pour faire apprendre les tables de multiplication. Et qui ne marchait pas mal .
A compléter
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| Les tables multiplication jusqu'à 20 fois 20 (CM, 6e .... seconde) |
| 1) Consulter le fichier http://michel.delord.free.fr/tables-mult20.pdf Il expose les différentes méthodes A, B, C, D et E qui permettent à la fin de connaître toutes ses tables jusqu’à 20 fois 20. Il ne se substitue pas à ce qui doit être fait normalement pour apprendre les tables de multiplication et que l’on trouve dans tout bon manuel. C’est en quelque sorte un complément sur deux points principaux : - utilisation d’une méthode
digitale pour apprendre les produits de deux entiers compris
entre 6 et 10 (méthode B dans le polycop) que j’utilise depuis
trente ans
Et lorsque les méthodes B et D ont été utilisées
suffisamment souvent, l'élève connaît par cœur ses tables, ce qui est
indispensable dans de nombreux domaines et notamment ... en maths. - multiplication mentale rapide de deux nombres compris entre 11 et 19 ( méthode D dans le polycop) 2) Il faut scénariser les apprentissages et voici un scénario que j’utilisais régulièrement : Le jour de la rentrée en sixième, au début de la première heure de cours, je disais de manière nonchalante " Qui sait ses tables par cœur jusqu'à 20 fois 20 ?" Surprise des élèves. Personne , bien sûr. Et j'ajoute, toujours aussi décontracté "Bon, on prendra cinq minutes à la fin de l'heure pour apprendre toutes les tables jusqu’à 20 fois 20". Réponse , "Mais monsieur, c'est trop court ". " On a déjà du mal à les apprendre jusqu’à 10 " Moi : "Mais non." Etc etc .. L'heure avance et l'ambiance monte "Msieur, n'oubliez pas pour la fin de l'heure" . Et à la fin de l'heure, j'explique la méthode en 3/4 minutes. Par exemple pour calculer 17 fois 18, j’explique en écrivant au tableau : Pour multiplier les deux nombres - on ajoute à un nombre les unités de l’autre , 17 + 8 = 25 ou
- on ajoute zéro à droite du résultat obtenu 18 + 7 = 25 250
- on multiplie les unités entre elles 7× 8 = 56
- on ajoute les deux résultats obtenus 250 + 56 = 306
et donc 17 × 18 = 306En gros entre un quart et une moitié de la classe comprend la méthode au premier exemple. Et deux exemples après, les ¾ de la classe ont compris. Et je dis : « Entraînez-vous d’abord en écrivant, ensuite en écrivant simplement la question, ensuite en faisant tout oralement. Expliquez-vous les uns aux autres. Ensuite faites un pari avec vos parents : Qu’est ce que tu me donnes si je sais calculer de tête les multiplications de deux nombres compris entre 11 et 19 ? » Et au cours suivant, - ou mieux la semaine suivante, car je fais traîner - a) On discute des difficultés pour connaître les résultats jusqu'à 20 fois 20 et c'est là que j'introduis le calcul digital ( méthodes B dans le polycop) pour ceux qui ne connaissent pas leur tables jusqu'à 10. b) Je fais, en sixième, la démonstration géométrique qui justifie la méthode D ( fin du fichier tables-mult20.pdf ) et là ils sont étonnés que l'on puisse justifier du calcul mental par de la géométrie et j'en profite pour faire une petite piqûre théorique pour dire que, en maths, il est important de considérer une même chose sous des angles différents (Et c’est aussi utile dans tous les domaines , mais c’est une autre histoire). 3) Autre utilisation en troisième ou seconde ( je le faisais en cinquième si j'avais eu les élèves en sixième puisqu'ils connaissaient leurs tables jusqu'à 20 fois 20) . Dire aux élèves : Considérer
la question suivante "Il y a eu sur un produit deux augmentations
successives de x% et y% . Quelle est le pourcentage d'augmentation
total ?" . Choisissez x et y parmi 10, 20, 30, 40 , 50 , 60 70,
80, 90 et demandez moi le pourcentage d’augmentation total, je
répondrai de tête. Allez y.
Et s’ils demandent : Si l’on a deux augmentations successives de 70 % et 80 %, quelle est le taux d’augmentation final ?,
je réponds en moins de dix secondes : 206% Et tout le monde demande comment il faut faire .... Réponse : s’il y a eu successivement une augmentation de 70% puis une de 80%, le prix initial a été multiplié successivement par 1+70/100 = 1,70 et par 1+80/100 = 1,80, c'est-à-dire finalement par 1,7 × 1,8 = 3,06. Mais 3,06 = 1+ 2,06 = 1 + 206/100 . Il s’agit donc d’une augmentation de 206% Et voilà. Mais ce ne sont que des pistes ... 13 / 12 / 2010
Michel Delord Remarques : Ia) Ce qui est pervers est de faire apprendre ses tables à un élève sans qu'il les utilise ; ce qui fait qu'il les oublie et que l’apprentissage des tables devient un pensum dont il ne voit pas l’utilité. Ib) La meilleure méthode pour que les élèves connaissent leur tables est de leur faire faire chaque jour une division - à l'ancienne , c'est-à-dire sans poser les soustractions - du type 4537 par 23 ou 21732 par 244 ( 4 ou 5 chiffres par 2 ou 3 chiffres ) Ic) Pour ceux qui ne seraient pas convaincus par la nécessité de savoir faire à la main des divisions du type donné supra en Ib), lire "Pourquoi apprendre à faire les opérations à la main ?" II) La question de fond pour la réussite de ce genre de choses - et d’une leçon en général - est que les élèves aient tous les prérequis … sauf le dernier , c'est-à-dire la compréhension même de l‘objet de la leçon. Dans le cas de l’apprentissage des tables de 11×11 à 19×19, deux prérequis importants sont - la connaissance des tables jusqu’à 10×10
- savoir additionner de tête* un nombre à trois chiffres et un nombre à deux chiffres * de tête ou en calcul mental signifie précisément que rien n’est écrit – en particulier pas la question – sauf la réponse quand c’est une interrogation collective. On peut pour préparer cette étape autoriser l’écriture de la question mais le but reste bien qu’il n’y ait que le résultat final qui, au maximum, soit écrit. III) C’est un exemple intéressant pour une autre raison : comme le résultat impressionne les élèves, il est beaucoup plus pertinent d’apprendre d’abord à «faire sans comprendre » et ne donner qu’ensuite les raisons qui font que ça marche. |
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Sur le fil EdP « Unités et
nombres »[1], j’indique
que j’ai enseigné la première définition du mètre - le dix-millionième du
quart de méridien terrestre- au début de la sixième pendant une bonne
vingtaine d’année, c'est-à-dire en gros depuis les années 1980 jusqu’en 2000.
J’ai commencé à enseigner en 1970 et, bien que la reforme des maths modernes
ait exclu du cours de maths cette définition du mètre, un certain nombre
d’instituteurs ne suivaient pas les programmes et l’enseignaient quand même.
Mais petit à petit l’allégement des maths modernes fit son effet et en gros à
partir de 1995 quasiment aucun parent ne savait répondre à la question infra
que je posais en exercice à la maison. Voilà, dans ses grandes lignes, comment je procédais. Je dis dans ses grandes lignes car le cours dépendait en grande partie des réactions et des impulsions des élèves. La pédagogie de détour est une excellente chose … à condition que l’on sache où l’on va et que l’on ait une culture suffisante pour répondre aux questions souvent fort difficiles des élèves. - Je posais innocemment la question suivante comme exercice de recherche pour le prochain cours : Quelle est la longueur de la circonférence de la terre ?[2] - La grande majorité de élèves donnait comme réponse 40 000 km, réponse trouvée dans le dictionnaire puisque, à cette époque, peu d’élèves avaient Internet. Je validais la réponse et posais comme question, pour une semaine plus tard : Comment se fait-il que le périmètre de la terre soit un nombre rond ?[3] Et j’ajoutais : Parlez-en avec vos parents. Tous les jours de la semaine avant le jour fatidique, j’avais des questions pressantes et des comptes-rendus des discussions en famille. - Enfin, au jour venu, au lieu de répondre, je posais une autre question pour la fois suivante : Mais avant d’utiliser le mètre, on mesurait les longueurs avec quelle unité ? Là, il y avait toujours un certain nombre de réponse donnant quelques unités de longueur. J’ordonnais un peu les choses en expliquant que, en France « pendant tout un temps », l’unité de longueur de base était le pied du roi qui comportait 12 pouces, 144 lignes et 1728 points et qu’il fallait 6 pieds pour faire une toise et 12 000 pieds pour faire une lieue de Paris. Ceci permettait, à l’aide d’exemples concrets, - de montrer que le calcul avec ces unités n’était pas vraiment facile et, en faisant l’exercice, de constater qu’il était beaucoup plus facile de transformer 12537 mm en mètres que de transformer 10000 points en pieds, pouces, lignes, points. -qu’il ne s’agissait « ni d’une mesure universelle ni naturelle » et qu’elle rendait donc difficile le commerce, l’industrie, et le développement scientifique. - Donc l’idée était de trouver une mesure - et un système d’unités basés sur le système décimal - qui puisse être naturelle, universelle et reconnue par tous. Il n’était absolument plus possible de s’appuyer sur la taille du pied du roi puisque les rois avaient des pieds de tailles différentes et que chaque pays considérait que la mesure universelle devait être celle de son roi … - Donc l’accord s’est fait petit à petit sur l’idée que le mètre devait être tel que 40 000 000 mètres représente la circonférence de la terre, ou que son quart mesure 10 000 000 mètres. Il fallait donc mesurer le quart de la circonférence terrestre. Des élèves m’ont donc proposé plusieurs méthodes : une qui revenait régulièrement consistait à mesurer le quart de méridien en mettant un long câble sur un bateau qui partait de l’équateur et remontait vers le nord. Il fallait donc quelques arguments pour montrer que ce n’était pas possible et je donnais finalement la solution en expliquant pourquoi la mesure s’est faite sur terre, en suivant un méridien sur 1000 km et en gros en France. Pour expliquer - vraiment à grands traits - comment se fait la mesure d’une distance sur un sol non plat, je faisais un peu d’arpentage et si j’avais le temps - ce qui s’est rarement passé -, je faisais faire par triangulation le plan à l’échelle d’un terrain non rectangulaire. Ce texte n’est vraiment qu’un schéma de ce qu’il est possible de faire et que l’on peut mener logiquement dans diverses directions. Mais dans tous les cas les élèves étaient véritablement passionnés. La seule difficulté est d’avoir une culture suffisante sur la question. MD –Octobre 2012 Sur l’arpentage - sur Internet - : - Article du dictionnaire pédagogique de 1911 : http://www.inrp.fr/edition-electronique/lodel/dictionnaire-ferdinand-buisson/document.php?id=2091 - Un manuel d’arpentage : Cours complet
d’arpentage, D. Puille, 1887 :http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k55522494 Sur le mètre , nombreux sites Petit mais bienfait : http://histoire.du.metre.free.fr/fr/index.htm
Bonnes références : http://smdsi.quartier-rural.org/?topic_id=1&msg_id=13&action=topics&topic_label=Fonctionnement%20du%20forum Et aussi : Unités de mesures anciennes : http://fr.wikipedia.org/wiki/Unit%C3%A9s_de_mesure_anciennes_(France)
Mais
il faut avant tout lire : Denis Guedj, Le Mètre du monde, Collection points , 2003
( 7 €) [2] J’ai eu quelquefois, deux ou trois fois en 20/30 ans, des élèves qui posaient directement l’excellente question : Monsieur, pourquoi un mètre ça fait un mètre ? Ce à quoi je répondais : Bonne question. Demandez aussi à vos frères, sœurs et parents. C’est votre exercice de recherche pour la prochaine fois. |
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Le fichier joint est un petit vademecum donnant la structure générale de résolution d'un problème d'arithmétique au vieux sens du terme, croisement de trains et baignoires qui fuient ... Il s'appuie pour cela sur un exemple très simple : Ma
chambre mesure 4,25 m de long, 3,80 m de large et 2,90 m de haut. Papa
veut passer trois couches de peinture sur les murs. Il y a lieu de
déduire 6,25 m² pour les ouvertures. Combien faut-il acheter de pots de
peinture, sachant qu'un pot couvre 9m² ?
On trouve successivement, en employant un vocabulaire classique, les paragraphes suivants : - l'analyse du problème ou raisonnement
- la rédaction au propre - la vérification du résultat, c'est-à-dire comment s'assurer que le nombre trouvé répond à la question et qu'il n'est point contraire au bon sens ou plus précisement - s'assurer que l'ordre de grandeur de la réponse doit repondre à la nature de l'objet qu'elle décrit
- verifier que le sens des opérations, quifigure dans leurs définitions, est respecté, et de ce point de vue - vérifier vos formules ,
- vérifier vos calculs. Il ne traite, et de manière extrêmement simple, que de la résolution des problèmes "par l'arithmétique". Il sera utile ultérieurement de montrer les différences et les ressemblances lorsque l'on utilise la résolution "par l'algèbre". 26 octobre 2012
Michel Delord |
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Un mètre, c’est, à peu de choses près, ... soixante-dix centimètres Changements d'unités (primaire, collège) APÉRITIF :
Un mètre, c’est, à peu de choses près, soixante-dix centimètres
Petit historique de l’enseignement des unités depuis 1945 Unité, la cinquième - ou première - opération DEUX MÉTHODES Changement d’unité et proportionnalité inverse
Méthode par « changement de variable » ANNEXE Il ne faut pas donner son âge aux élèves…mais le faire calculer .
J’ai publié en 2004 [ http://michel.delord.free.fr/unites.pdf ] un tout petit texte d’une demi-page donnant deux manières de faire des changements d’unités sans utiliser de tableaux. On peut se contenter de le lire ou lire celui-ci qui, avant d’exposer ces deux techniques de conversions de manière un peu plus détaillée que dans le texte de 2004 explique les tenants et les aboutissants de ce choix. Mais avant tout, je me dois de raconter un des évènements qui m’a fait penser qu’il était vraiment utile de faire ce petit texte. Bonne lecture. MD *
* * APÉRITIF Un mètre, c’est, à peu de choses près, soixante-dix centimètres
Neuf heures, un matin des années 90 du siècle dernier : je sors de ma classe pour l’intercours et un collègue de physique vient me voir et me dit : Voilà, je faisais, avec mes
quatrièmes [Niveau normal, classe travailleuse et attentive d’un
collège relativement favorisé, pas ZEP] un problème dans lequel
intervenaient des longueurs. Ca ne marchait pas et je finis par
demander : Mais, au fond, qu’est ce que c’est qu’un mètre ?
Long silence. Et là, un élève du premier rang dit en montrant une longueur entre les paumes de ses mains : Monsieur ça fait comme ça. J’ajoute : c’est-à-dire ? Réponse : Comme ça, à peu près soixante-dix centimètres. [Il montait d’ailleurs une bonne estimation de la longueur en question] Moi : Vous êtes tous d’accord ? Silence prolongé et au bout de quelques insistances de ma part et avec un délai d’une demi-minute - c’est long ! -, un élève dit : Monsieur, un mètre, ça ne fait pas soixante centimètres, ça fait cent centimètres. Ouf se dit-on, bien qu’un aussi long délai pour dire que 1 m = 100 cm … Mais non, ce n’est pas fini et le meilleur est à venir. Entre temps était arrivé un prof de technologie qui nous dit : Je
les ai maintenant, j’ai aussi quelques problèmes avec eux sur les
unités. Je vais leur faire faire des exercices de conversion d’unités.
Fin de l’heure suivante : Le collègue de technologie a proposé des exercices de conversion que les élèves ont quasiment tous réussi … en faisant des tableaux de conversion. Cette anecdote explique l’origine de la remarque finale du texte joint : Les
deux dernières méthodes supposent que l'élève [sait] que 1 m
contient 100 cm ou que 1 cm = 0,01 m, ce qui n'est pas le cas des
"tableaux" pour lesquels l'élève peut trouver la bonne réponse sans
rien comprendre.
Effectivement, comme c’est le changement de colonne dans le tableau qui signifie, mais implicitement, la multiplication par 10, l’élève peut avoir des résultats justes - du type 20,15 hm = 201,5 dam - sans savoir que, par exemple pour les unités de longueur, un hectomètre vaut dix décamètres, ou 1m = 100 cm ou 1cm = 0,01 m … On peut aussi rappeler que l’élève qui disait qu’un mètre ne vaut pas un mètre donne cependant un ordre de grandeur correct et fait ensuite correctement des changements d’unités par tableau. En fait, il fait consciencieusement ce qu’on lui a appris et que les IO recommandent : - il sait donner un ordre de grandeur
mais, il n’a pas compris que le système métrique est une
doctrine cohérente intimement liée à l’écriture décimale de position.
Pourquoi ? Parce que, au nom « de la pratique », de la mise en avant
exagérée de la « résolution de problèmes » et de l’utilitarisme, on ne
lui a pas appris que le système métrique est un système qui ne se
réduit pas aux « unités usuelles ». Ces affirmations demandent quelques
éclaircissements. - il sait faire une conversion de longueurs - il y a de fortes chances qu’en possession d’un mètre, il sache correctement mesurer, Une objection ? S’il sait mesurer, dira-t-on, il peut savoir - par la pratique du mesurage - qu’un mètre ne fait pas soixante-dix centimètres ; certes, mais le rôle de la théorie et de la connaissance n’est-il pas de ne pas avoir à redécouvrir à chaque mesure que la longueur du mètre en centimètres est 100 cm et plus généralement chaque fois ce qui, dans un domaine donné, est vrai une fois pour toutes ? Le texte complet est ICI
28 novembre 2012
Michel Delord |